Si su API web está alojada dentro de un ASP.NET aplicación, el evento Application_Error se llamará para todas las excepciones no controladas en su código, incluida la de la acción de prueba que ha mostrado. Así que todo lo que tienes que hacer es manejar esta excepción dentro del evento Application_Error. En el código de ejemplo que ha mostrado solo está manejando la excepción del tipo HttpException que obviamente no es el caso con el código Convert.ToInt32("a"). Así que asegúrese de registrar y manejar todas las excepciones en hay:

protected void Application_Error()
{
    Exception unhandledException = Server.GetLastError();
    HttpException httpException = unhandledException as HttpException;
    if (httpException == null)
    {
        Exception innerException = unhandledException.InnerException;
        httpException = innerException as HttpException;
    }

    if (httpException != null)
    {
        int httpCode = httpException.GetHttpCode();
        switch (httpCode)
        {
            case (int)HttpStatusCode.Unauthorized:
                Response.Redirect("/Http/Error401");
                break;

            // TODO: don't forget that here you have many other status codes to test 
            // and handle in addition to 401.
        }
        else
        {
            // It was not an HttpException. This will be executed for your test action.
            // Here you should log and handle this case. Use the unhandledException instance here
        }
    }
}

El manejo de excepciones en la API Web podría hacerse en varios niveles. Aquí hay un detailed article explicando las diferentes posibilidades:

• Atributo de filtro de excepción personalizado que podría registrarse como un filtro de excepción global

  [AttributeUsage(AttributeTargets.All)]
  public class ExceptionHandlingAttribute : ExceptionFilterAttribute
  {
      public override void OnException(HttpActionExecutedContext context)
      {
          if (context.Exception is BusinessException)
          {
              throw new HttpResponseException(new HttpResponseMessage(HttpStatusCode.InternalServerError)
              {
                  Content = new StringContent(context.Exception.Message),
                  ReasonPhrase = "Exception"
              });
          }
  
          //Log Critical errors
          Debug.WriteLine(context.Exception);
  
          throw new HttpResponseException(new HttpResponseMessage(HttpStatusCode.InternalServerError)
          {
              Content = new StringContent("An error occurred, please try again or contact the administrator."),
              ReasonPhrase = "Critical Exception"
          });
      }
  }
  

• Invocador de acción personalizada

  public class MyApiControllerActionInvoker : ApiControllerActionInvoker
  {
      public override Task<HttpResponseMessage> InvokeActionAsync(HttpActionContext actionContext, System.Threading.CancellationToken cancellationToken)
      {
          var result = base.InvokeActionAsync(actionContext, cancellationToken);
  
          if (result.Exception != null && result.Exception.GetBaseException() != null)
          {
              var baseException = result.Exception.GetBaseException();
  
              if (baseException is BusinessException)
              {
                  return Task.Run<HttpResponseMessage>(() => new HttpResponseMessage(HttpStatusCode.InternalServerError)
                  {
                      Content = new StringContent(baseException.Message),
                      ReasonPhrase = "Error"
  
                  });
              }
              else
              {
                  //Log critical error
                  Debug.WriteLine(baseException);
  
                  return Task.Run<HttpResponseMessage>(() => new HttpResponseMessage(HttpStatusCode.InternalServerError)
                  {
                      Content = new StringContent(baseException.Message),
                      ReasonPhrase = "Critical Error"
                  });
              }
          }
  
          return result;
      }
  }